Question

已知抛物线y=（a-1）x²-2（a-2）x+a（a为常数），当a为何值时：
（1）抛物线的对称轴在y轴的右侧；
（2）抛物线的顶点在数轴上；
（3）抛物线在x轴上截得的线段长为4．

Answer 1

考点：抛物线与x轴的交点

专题：代数综合题,分类讨论

分析：（1）根据抛物线的解析式求得对称轴方程为：x=

2(a-2)

a-1

，则

2(a-2)

a-1

＞0，通过解该不等式来去a的取值范围；
（2）根据抛物线的顶点坐标公式列出关于a的方程．注意需要分类讨论：在x轴、y轴、原点三种情况；
（3）由根与系数的关系列出方程．

解答：解：（1）∵抛物线解析式为y=（a-1）x²-2（a-2）x+a（a为常数），
∴对称轴方程为：x=

2(a-2)

2(a-1)

，则

2(a-2)

2(a-1)

＞0，
∴

a-2＞0 a-1＞0

或

a-2＜0 a-1＜0

，
解得a＞2或a＜1；

（2）①当顶点坐标在x轴上时，由抛物线解析式y=（a-1）x²-2（a-2）x+a（a为常数），得

4(a-1)a-4(a-2)2

4(a-1)

=0，即-4+3a=0，
解得a=

4

3

；
②当顶点在y轴上时，x=

2(a-2)

2(a-1)

=0，
解得，a=2；
③当顶点在原点时，0=a，即a=0；

（3）令y=0，则（a-1）x²-2（a-2）x+a=0．
设抛物线与x轴的两个交点的横坐标为a、b，则
a+b=

2(a-2)

a-1

，ab=

a

a-1

，
∴（a-b）²=（a+b）²-4ab=

4(a-2)2

(a-1)2

-

4a

a-1

=16，
整理，得
a（4a-5）=0
解得，a=0或a=

5

4

．

点评：本题考查了抛物线与x轴的交点．（2）题属于易错题，题目要求是“抛物线的顶点在数轴上”，所以应该分类讨论：x轴、y轴、原点三种情况．同学们在解题时，往往忽略了顶点在原点的这一情况．