Question

【题目】已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C（0，﹣3），顶点D的坐标为（1，﹣4）．

（1）求抛物线的解析式．

（2）在y轴上找一点E，使得△EAC为等腰三角形，请直接写出点E的坐标．

（3）点P是x轴上的动点，点Q是抛物线上的动点，是否存在点P、Q，使得以点P、Q、B、D为顶点，BD为一边的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P、Q坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）yx2﹣2x﹣3；（2）满足条件的点E的坐标为（0，3）、（0，﹣3+）、（0，﹣3﹣）、（0，﹣）；（3）存在，P（﹣1+2，0）、Q（1+2，4）或P（﹣1﹣2，0）、Q（1﹣2，4）．

【解析】

（1）根据抛物线的顶点坐标设出抛物线的解析式，再将点C坐标代入求解，即可得出结论；

（2）先求出点A，C坐标，设出点E坐标，表示出AE，CE，AC，再分三种情况建立方程求解即可；

（3）利用平移先确定出点Q的纵坐标，代入抛物线解析式求出点Q的横坐标，即可得出结论．

解：（1）∵抛物线的顶点为（1，﹣4），

∴设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2﹣4，

将点C（0，﹣3）代入抛物线y＝a（x﹣1）2﹣4中，得a﹣4＝﹣3，

∴a＝1，

∴抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2﹣4＝x2﹣2x﹣3；

（2）由（1）知，抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，

令y＝0，则x2﹣2x﹣3＝0，

∴x＝﹣1或x＝3，

∴B（3，0），A（﹣1，0），

令x＝0，则y＝﹣3，

∴C（0，﹣3），

∴AC＝，

设点E（0，m），则AE＝，CE＝|m+3|，

∵△ACE是等腰三角形，

∴①当AC＝AE时，＝，

∴m＝3或m＝﹣3（点C的纵坐标，舍去），

∴E（3，0），

②当AC＝CE时，＝|m+3|，

∴m＝﹣3±，

∴E（0，﹣3+）或（0，﹣3﹣），

③当AE＝CE时，＝|m+3|，

∴m＝﹣，

∴E（0，﹣），

即满足条件的点E的坐标为（0，3）、（0，﹣3+）、（0，﹣3﹣）、（0，﹣）；

（3）如图，存在，∵D（1，﹣4），

∴将线段BD向上平移4个单位，再向右（或向左）平移适当的距离，使点B的对应点落在抛物线上，这样便存在点Q，此时点D的对应点就是点P，

∴点Q的纵坐标为4，

设Q（t，4），

将点Q的坐标代入抛物线y＝x2﹣2x﹣3中得，t2﹣2t﹣3＝4，

∴t＝1+2或t＝1﹣2，

∴Q（1+2，4）或（1﹣2，4），

分别过点D，Q作x轴的垂线，垂足分别为F，G，

∵抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴的右边的交点B的坐标为（3，0），且D（1，﹣4），

∴FB＝PG＝3﹣1＝2，

∴点P的横坐标为（1+2）﹣2＝﹣1+2或（1﹣2）﹣2＝﹣1﹣2，

即P（﹣1+2，0）、Q（1+2，4）或P（﹣1﹣2，0）、Q（1﹣2，4）．