Question

如图矩形ABCD中，E为BC上一点，DF⊥AE于F．
（1）求证：△ABE∽△DFA；
（2）若AB=6，AD=12，BE=8，求DF的长．

Answer 1

分析：（1）△ABE和△DFA都是直角三角形，还需一对角对应相等即可．根据AD∥BC可得∠DAF=∠AEB，问题得证；
（2）运用相似三角形的性质求解．

解答：（1）证明：∵DF⊥AE，∴∠AFD=90°．               （1分）
∴∠B=∠AFD=90°．                    （2分）
又∵AD∥BC，
∴∠DAE=∠AEB．                           （3分）
∴△ABE∽△DFA．                                    （4分）

（2）解：∵AB=6，BE=8，∠B=90°，
∴AE=10．                                            （6分）
∵△ABE∽△DFA，∴

AB

DF

=

AE

AD

．                        （7分）
即

6

DF

=

10

12

．
∴DF=7.2．                                          （8分）

点评：此题考查了相似三角形的判定和性质，以及矩形的性质、勾股定理等知识点，难度中等．