Question

8．矩形各内角的平分线若能围成一个四边形，则这个四边形一定是C，并证明．
A．平行四边形  B．矩形   C．正方形   D．菱形．

Answer 1

分析 因为矩形的四个角都是直角，并由角平分线得出∠HBC=∠HCB=45°，根据三角形的内角可得∠H=90°，同理可得四边形EFGH的其它各角也是90°，所以四边形EFGH为矩形，再证明EH=GH，则矩形EFGH是正方形．

解答 解：矩形各内角的平分线若能围成一个四边形，则这个四边形一定是正方形，理由是：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=∠BCD=90°，AB=CD，
∵BH、CH分别是∠ABC、∠BCD的角平分线，
∴∠HBC=∠HCB=45°，
∴∠H=90°，
同理得∠F=∠AEB=90°，
∴∠FEH=90°，
∴四边形EFGH为矩形，
∵∠HBC=∠HCB=45°，
∴BH=CH，
在△ABE和△DCG中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠BAE=∠CDG=45°}\\{AB=CD}\\{∠ABE=∠DCG=45°}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△DCG（ASA），
∴BE=CG，
∴BH-BE=CH-CG，
即EH=GH，
∴矩形EFGH是正方形；
故选B．

点评 本题考查了矩形的性质和判定、正方形的判定，同时说明了矩形各内角平分线所围成的四边形是正方形；做好此题要熟练掌握矩形的性质，尤其是角的特殊性：矩形的四个角都是直角．