Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A点的坐标为（18，0），B点的坐标为（0，24）．

（1）求AB的值；

（2）点C在OA上，且BC平分∠OBA，求点C的坐标；

（3）在(2)的条件下，点M在第三象限，点D为y轴上的一个点，连接DM交x轴于点H，连接CM,点F为BC的中点，点E为AD的中点，AD与BC交于点G,，点H为DM的中点，当∠MCG-∠DGF=∠OAB，且AD=CM时,求线段EF的长．

Answer 1

【答案】（1）30；（2）C（8，0）；（3）

【解析】

（1）根据勾股定理计算即可；（2）过点C作CN⊥AB于点N，则OC=CN，设OC的长为x，则CA的长为18-x，根据即可求解；（3）如图，过点M作MI⊥x轴于点I，过点D作DJ⊥AB于点J，证明△MHI≌△DHO，进而可得DO=MI，再证明△MCI≌△DAO，

得到∠MCI=∠DAO，再结合已知得到AD平分∠OAB，根据求出OD的长，从而得到点D的坐标，求出点E、F的坐标，再根据两点间距离公式求出EF的长即可.

（1）∵A点的坐标为（18，0），B点的坐标为（0，24），

∴OA=18，OB=24，

∴；

（2）如图，过点C作CN⊥AB于点N，设OC的长为x，则OC=CN=x，CA=18-x，

∴，即，

解得x=8，

∴点C的坐标为（8，0）；

（3）如图，过点M作MI⊥x轴于点I，过点D作DJ⊥AB于点J，

∵点H为DM的中点，

∴DH=HM，

又∵∠MHI=∠DHO，∠MIO=∠DOH，

∴△MHI≌△DHO，

∴DO=MI，

∵AD=CM，

△MCI≌△DAO，

∴∠MCI=∠DAO，

∵∠MCG-∠DGF=∠OAB，∠OCG=∠CGA+∠CAG，

∴∠MCI=∠DAB，

∴∠DAB=∠DAO，即AD平分∠OAB，

∴DO=DJ，

设DO=x，则BD=24-x，

∴，

即，

解得x=9，

∴点D的坐标为（0，9），

∴点，，

∴.