题目内容

已知如图，在平面直角坐标系中，梯形ABCD的顶点A，B在第一象限，AB∥x轴，∠B=90°，AB+OC=OA，OD平分∠AOC交BC于点D，若四边形ABDO的面积为4，反比例函数 $数学公式$ 的图象过点D，点A，则k=________．

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分析：首先根据角平分线的性质得出DE=DC，进而利用HL定理得出Rt△ODE≌Rt△ODC以及Rt△ADE≌Rt△ADB求出A，D点坐标关系，进而得出k的值．
解答：过点D作DE⊥AO于点E，连接AD，
∵梯形ABCD的顶点A，B在第一象限，AB∥x轴，∠B=90°，
∴∠OCB=90°，
∵OD平分∠AOC交BC于点D，
∴DE=DC，
在Rt△ODE和Rt△ODC中
$\text{[math]}$ ，
∴Rt△ODE≌Rt△ODC（HL），

∴EO=CO，
又∵AB+OC=OA，
∴AE=AB，
在Rt△ADE和Rt△ADB中
$\text{[math]}$ ，
∴Rt△ADE≌Rt△ADB（HL），
∴BD=ED，
∴BD=CD=ED，
∵反比例函数 $\text{[math]}$ 的图象过点D，点A，
∴设D点坐标为；（a，b），则B（a，2b），
∴A（ $\text{[math]}$ ，2b），
即AB=AE= $\text{[math]}$ ，CO=OE=a，
∵DE=b，则BD=b，
∴S_{四边形ABDO}=S_△ADO+S_△ABD= $\text{[math]}$ b（a+ $\text{[math]}$ a）+ $\text{[math]}$ b× $\text{[math]}$ a= $\text{[math]}$ b×2a=ab=4，
∵D（a，b），
∴ab=k=4．
故答案为：4．
点评：此题主要考查了全等三角形的判定性质以及反比例函数图象上点的坐标性质和角平分线的性质等知识，根据题意得出A，D点坐标性质是解题关键．