Question

已知△ABC内接于半径为1的⊙O，AB=

3

，AC=

2

，则BC边的长为

 

．

Answer 1

考点：圆周角定理,垂径定理,解直角三角形

专题：计算题

分析：如图所示，分两种情况考虑：如图1，过O作OM⊥AC，ON⊥AB，连接OA，利用垂径定理得到M、N分别为AC、AB的中点，求出AM与AN的长，利用锐角三角函数定义求出∠OAM与∠OAN的度数，进而确定出∠BAC的度数，利用余弦定理即可求出BC的长．

解答：解：如图所示，分两种情况考虑：
如图1，过O作OM⊥AC，ON⊥AB，连接OA，
∴M、N分别为AC、AB的中点，即AM=CM=

1

2

AC=

2

2

，AN=BN=

1

2

AB=

3

2

，
在Rt△AOM和Rt△AON中，
cos∠OAM=

AM

OA

=

2

2

，cos∠OAN=

AN

OA

=

3

2

，
∴∠OAM=45°，∠OAN=30°，
∴∠BAC=15°，
如图2所示，同理得到∠BAC=75°，
由cos15°=cos（45°-30°）=

6 + 2

4

，cos75°=

6 - 2

4

，
在△ABC中，利用余弦定理得：BC²=AC²+AB²-2AC•ABcos∠BAC=2+3-2×

6

×

6 + 2

4

=2-

3

，
或BC²=AC²+AB²-2AC•ABcos∠BAC=2+3-2×

6

×

6 - 2

4

=2+

3

，
解得：BC=

2± 3

．
故答案为：

2± 3

点评：此题考查了垂径定理，熟练掌握垂径定理是解本题的关键．