Question

已知直角梯形纸片OABC在平面直角坐标系中的位置如图1所示，四个顶点的坐标分别为O（0，0），A（10，0），B（8，2），C（0，2），点T在线段OA上（不与线段点重合），将纸片沿过T点的直线折叠，使点A落在射线AB上（记为点A'），折痕TP与射线AB交于点P，设点T的横坐标为t，折叠后纸片重叠部分（图2中的阴影部分）的面积为S；
（1）直接写出∠OAB的度数；
（2）当纸片重叠部分的图形是四边形时，直接写出t的取值范围；
（3）求S关于t的解析式及S的最大值．

Answer 1

解：（1）∵A，B两点的坐标分别是A（10，0）和B（8，2），
∴tan∠OAB==，
∴∠OAB=60°，
（2）当点A'在线段AB的延长线，且点P在线段AB（不与B重合）上时， 纸片重叠部分的图形是四边形（如图①，其中E是TA'与CB的交点），
当点P与B重合时，AT=2AB=8，点T的坐标是（2，0）， 又由（1）中求得当A'与B重合时，T的坐标是（6，0），
所以当纸片重叠部分的图形是四边形时，2＜t＜6；
（3）S存在最大值．
①当6≤t＜10时，S=×A'P·TP=×（10﹣t）（10﹣t）=（10﹣t）²，
在对称轴t=10的左边，S的值随着t的增大而减小，
∴当t=6时，S的值最大是2；
②当2＜t＜6时，由图①，重叠部分的面积S=S_△A'TP﹣S_△A'EB，
∵△A'EB的高是A'Bsin60°，
∴S=（10﹣t）²﹣（10﹣t﹣4）²×，
=（﹣t²+4t+28），
=﹣（t﹣2）²+4，
当t=2时，S的值最大是4；