Question

已知直角梯形纸片OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，四个顶点的坐标分别为O(0，0)，A(10，0)，B(8，)，C(0，)，点T在线段OA上(不与线段端点重合)，将纸片沿过T点的直线折叠，使点A落在射线AB上(记为点A′)，折痕TP与射线AB交于点P，设点T的横坐标为t，折叠后纸片重叠部分(图中的阴影部分)的面积为S；

【小题1】(1)直接写出∠OAB的度数；
【小题2】(2)当纸片重叠部分的图形是四边形时，直接写出t的取值范围；
【小题3】(3)求S关于t的解析式及S的最大值.

Answer 1

【小题1】(1)
【小题2】(2)  t的取值范围:   ...…………………………………………......2
【小题3】(3) ①当时，
即当点A´在线段AB上时，
∵，TA=TA´，
∴△A´TA是等边三角形，且，
∴， 
，
∴，
当A´与B重合时，AT=AB=4，
∴，此时.
在对称轴t=10的左边，S的值随着t的
增大而减小，
∴当t=6时，S的值最大是.              .................................4’
②当时，
∵△A´EB的高是，
∴

当t=2时，S的值最大是；    ......................................................6’
③当，即当点A´和点P都在线
段AB的延长线是(如图2，其中E是TA´
与CB的交点，F是TP与CB的交点)，
∵，
四边形ETAB是等腰形，
∴EF=ET=AB=4，
∴
综上所述，S的最大值是.       ........................................................8

解析