Question

【题目】(1)如图1,在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°，E、F分别是BC、CD上的点．且BE+DF=EF．试求∠EAF度数．

小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G．使DG=BE．连结AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得求出∠EAF度数，他求出的∠EAF度数应是 ．请你根据他的思路完成论证过程.

(2)如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°．E，F分别是BC，CD上的点，试探究当∠EAF与∠BAD满足什么关系时有BE+DF=EF，并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）60°；（2）当∠EAF＝∠BAD时有BE+DF=EF，理由见解析.

【解析】

（1）延长FD到点G．使DG＝BE．连结AG，即可证明△ABE≌△ADG，可得AE＝AG，再证明△AEF≌△AGF，可得∠EAF＝∠GAF，即可解题；

（2）延长FD到点G．使DG＝BE．连结AG，即可证明△ABE≌△ADG，可得AE＝AG，再证明△AEF≌△AGF，可得∠EAF＝∠GAF，即可解题．

解：（1）在△ABE和△ADG中，，

∴△ABE≌△ADG（SAS），

∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，

∵BE+DF=EF，

∴DG+DF=EF，即GF=EF，

在△AEF和△AGF中，，

∴△AEF≌△AGF（SSS），

∴∠EAF＝∠GAF，

∴∠EAF＝∠FAD+∠DAG，即∠EAF＝∠FAD+∠BAE，

∴∠EAF＝∠BAD＝60°；

（2）当∠EAF＝∠BAD时有BE+DF=EF，

理由：延长FD到点G，使DG＝BE．连结AG，

∵∠B+∠ADF=180°，∠ADF+∠ADG=180°，

∴∠B=∠ADG，

在△ABE和△ADG中，，

∴△ABE≌△ADG（SAS），

∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，

∵BE+DF=EF，

∴DG+DF=EF，即GF=EF，

在△AEF和△AGF中，，

∴△AEF≌△AGF（SSS），

∴∠EAF＝∠GAF，

∴∠EAF＝∠FAD+∠DAG，即∠EAF＝∠FAD+∠BAE，

∴∠EAF＝∠BAD，

∴当∠EAF＝∠BAD时有BE+DF=EF.