Question

如图，在Rt△ABC中，已知∠C=90°，以AC为直径作⊙O，交AB于点D，点E为边BC上一个动点．

（1）当点E移动到什么位置时，ED为⊙O的切线？并证明之；

（2）如果点E在（1）的位置的条件下，且ED为⊙O的切线，⊙O的半径为，ED=2，求BD的长．

 

Answer 1

（1）当点E为BC中点时，ED为⊙O的切线       

      证明：连接OD                              

∵点O为直径AB的中点，点E为BC的中点

          ∴  OE为△ABC的中位线                   

∴OE//AB                                 

 ∴ ∠COE=  ∠A    ∠DOE=  ∠ODA     

∵OA=OD

 ∴ ∠ODA=  ∠A

 ∴ ∠COE=  ∠DOE             

又∵CO=DO  EO=EO

∴△ODE≌△OCE               

 ∴ ∠ODE=  ∠C=90             

又∵点C在⊙O上

∴ED为⊙O的切线            

（2）解：连接CD                     

         ∵ED为⊙O的切线

∴∠ODE=90°

∴在Rt△ODE中  OE=

由（1）得OE是△ABC的中位线

∴OE=AB

∴AB=2OE=2×                           

∵∠C=90°   则在Rt△ABC中

AB=5  直径AC=2×=3

∴BC=                

又∵AC是⊙O的直径

     ∴∠ADC=90°

∴S_△ABC=

∴CD=                  

在Rt△BDC中 BD=