Question

【题目】如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为（3，0）

（1）求m的值及抛物线的顶点坐标．

（2）点P是抛物线对称轴l上的一个动点，当PA+PC的值最小时，求点P的坐标．

（3）点M是抛物线在第一象限内图像上的任意一点，求当BCM的面积最大时点M的坐标.

Answer 1

【答案】（1）m=2,顶点坐标为（1，4）；（2）点P（1，2）；（3）

【解析】

（1）将点B的坐标为（3，0）代入解析式中，即可求得m的值，然后利用顶点坐标公式求得抛物线的顶点坐标；

（2）根据A、B关于抛物线的对称轴对称，先连接BC交抛物线对称轴于点P，则此时PA+PC的值最小，然后利用待定系数法求得直线BC的解析式，从而求出P点坐标；

（3）过M点作MD⊥x轴交BC与点D，利用M、D所在的图像设出坐标，再利用“铅垂高水平宽”求出面积与坐标的关系，最后利用顶点坐标求最值即可.

解：（1）将点B的坐标为（3，0）代入解析式中得：

解得：m=2

故抛物线的解析式为：

顶点坐标的横坐标为：，代入解析式中得y=4

∴抛物线的顶点坐标为：（1，4）；

（2）∵根据A、B关于抛物线的对称轴对称

∴连接BC交抛物线对称轴于点P，则此时PA+PC的值最小，

将x=0代入到中，得：

∴点C的坐标为（0，3）

设直线BC的解析式为：y=kx+b，

将B、C的坐标分别代入得：

解得：

所以直线BC的解析式为：y=-x+3

将x=1代入到y=-x+3得：y=2

∴P点坐标为（1，2）

（3）过M点作MD⊥x轴交BC与点D，设M的坐标为，D的坐标为，C到MD的距离为h1，B到MD的距离为h2，由图可知h1+ h2=OB=3

∴MD=

∴SBCM=SDCM+SBDM=

∵

∴当时，SBCM有最大值，

将代入中，得：，

故当BCM的面积最大时点M的坐标为：