Question

1．直角三角形ABC中，∠C=90°，tanA=$\frac{1}{2}$，AC=4，若点D在线段AB上，连接CD，使∠CDB=2∠A，请根据题意画出示意图，并求出CD的长．

Answer 1

分析 首先根据题意画出示意图，根据三角形外角的性质得出，∠BCD=∠A+∠ACD，而∠CDB=2∠A，那么∠CAD=∠A，由等角对等边得到AD=CD，再根据等角的余角相等得出∠B=∠BCD，则DC=DB，CD=$\frac{1}{2}$AB，然后解Rt△ABC，求得BC=2，运用勾股定理求出AB=2$\sqrt{5}$，即可求得CD=$\sqrt{5}$．

解答 解：如图，∵∠BCD=∠A+∠ACD，∠CDB=2∠A，
∴∠ACD=∠A，
∴AD=CD．
∵∠ACB=90°，
∴∠B+∠A=90°，∠BCD+∠ACD=90°，
∴∠B=∠BCD，
∴CD=BD，
∴CD=$\frac{1}{2}$AB，
在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，tanA=$\frac{1}{2}$，AC=4，
∴tanA=$\frac{BC}{AC}$=$\frac{1}{2}$，
∴BC=2，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∴CD=$\sqrt{5}$．

点评 本题考查了三角形外角的性质，等腰三角形的判定，余角的性质，解直角三角形，勾股定理，正切函数的定义，难度适中．求出AB的值是解题的关键．