Question

已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA、sinB是方程x²+px+q=0的两个根．
（1）求实数p、q应满足的条件；
（2）若p、q满足（1）的条件，方程x²+px+q=0的两个根是否等于Rt△ABC中两锐角A、B的正弦？

Answer 1

解：（1）∵sinA、sinB是方程x²+px+q=0的两个根，
∴sinA+sinB=-p，即sinA+cosA=-p，
∴sin（A+45°）=-p
∵0°＜A＜90°，
∴1＜-p≤，
∴-≤p＜-1
∵sinA•sinB=q，即sinA•cosA=q，
∴sin2A=2q，
∴0＜q＜，
∵sin²A+sinB²=（sinA+sinB）²-2sinA•sinB
∴p²-2q=1，
∴实数p、q应满足的条件是：p²-2q=1，∴-≤p＜-1，0＜q≤．
（2）∵0＜q≤，设sin2A=2q，
则2A=2a，或180°-2a，
即A=a或90°-a，
∵sina和sin（90°-a）是方程的两根，即它们是直角三角形的两个锐角的正弦值．
分析：（1）根据sinA+cosA=sin（A+45°），sinA•cosA=sin2A，以及根与系数的关系，即可得到关于p，q的不等式，以及
sin²A+sinB²=1，即可求得p，q的关系．
（2）根据（1）可以得到sin2A=2q，求得A的值，证明A的值可以取互余的两个角的度数，即可证得．
点评：本题是一元二次方程与三角函数相结合的题目，正确理解一元二次方程的根与系数的关系以及锐角三角函数的性质是解题关键．