Question

如图，梯形ABCD的四个顶点均在已知圆上，AC平分∠BCD，∠ADC=120°，四边形ABCD的周长为20，P是BC上一点，则阴影部分的面积等于________．

Answer 1

π
分析：首先根据∠ADC的度数求出∠ACD、∠ACB、∠ABC的度数；然后证明∠BAC=90°，得出BC是梯形外接圆的直径，设圆心为0，连接OA、OD，由于△OAD和△APD同底等高，故阴影部分的面积是扇形OAD的面积．扇形圆心角的度数可由圆周角定理求得，关键是求出扇形的半径；可在Rt△ABC中求出BC与AB的关系，进一步根据梯形的周长求出⊙O的直径，由此得解．
解答：解：如图，设梯形ABCD的外接圆圆心为O，连接OA、OD；
∵AD∥BC，
∴∠BCD=180°-∠ADC=60°；
∵AC平分∠BCD，
∴∠ACD=∠ACB=30°；
∵∠ADC=120°，
∴∠BCD=60°，
∴∠ABC=∠BCD=60°，
∴四边形ABCD是等腰梯形，
∴∠ABC=DCB=60°；
∴∠BAC=90°；
即BC是⊙O的直径；
Rt△ABC中，∠ACB=30°，BC=2AB；
△ACD中，∠ADC=120°，∠ACD=30°；
∴∠CAD=∠ACD=30°，即AD=CD=AB=BC；
∵梯形ABCD的周长为20
∴AB+AD+CD+BC=BC=20，即BC=8；
∴OA=OD=4；
又∵∠AOD=2∠ACD=60°，
∴S_扇形AOD==；
∵△APD与△AOD同底等高，
∴S_△APD=S_△AOD；
∴S_阴影=S_△APD+S_弓形AD=S_△AOD+S_弓形AD=S_扇形AOD=．
点评：此题主要考查了梯形的性质、圆周角定理以及扇形面积的计算方法，难点在于确定BC是梯形外接圆的直径．