题目内容
如图，在半径为5的⊙O中，点A、B在⊙O中，∠AOB=90°，点C是 |
| AB |
（1）当x=2时，求y的值；
（2）求y关于x的函数解析式；
（3）如果⊙O1与⊙O相交于点A、C，且⊙O1与⊙O的圆心距为2，当BD=
| 1 |
| 3 |
（4）是否存在点C，使得CD2=DB•DO成立，如果存在，请证明；如果不存在，请简要说明理由．
分析：（1）过⊙O的圆心作OE⊥AC，垂足为E．通过证明△ODE∽△AOE求得
=
，然后将相关线段的长度代入求得y的值；
（2）过⊙O的圆心作OE⊥AC，垂足为E．通过证明△ODE∽△AOE求得
=
，然后将相关线段的长度代入求得y关于x的函数解析式，再由函数的性质求其定义域；
（3）当BD=
OB时，根据（1）的函数关系式求得y=
，x=6．分两种情况来解答O1A的值①当点O1在线段OE上时，O1E=OE-OO1=2；②当点O1在线段EO的延长线上时，O1E=OE+OO1=6，进而求出即可；
（4）当点C为AB的中点时，∠BOC=∠AOC=
∠AOB=45°，∠OCA=∠OCB=
=67.5°，然后由三角形的内角和定理求得∠DCB=45°，由等量代换求得∠DCB=∠BOC．根据相似三角形的判定定理AA证明△DCB∽△DOC．
| OD |
| OE |
| AO |
| AE |
（2）过⊙O的圆心作OE⊥AC，垂足为E．通过证明△ODE∽△AOE求得
| OD |
| OE |
| AO |
| AE |
（3）当BD=
| 1 |
| 3 |
| 5 |
| 3 |
（4）当点C为AB的中点时，∠BOC=∠AOC=
| 1 |
| 2 |
| 180°-45° |
| 2 |
解答：
（1）解：如图1，过⊙O的圆心作OE⊥AC，垂足为E，
∴AE=
AC=1，OE=
=2
．
∵∠DEO=∠AOB=90°，∴∠D=90°-∠EOD=∠AOE，
∴△ODE∽△AOE．
∴
=
，
∵OD=y+5，
∴
=
，
解得：y=10
-5；
（2）解：如图1，过⊙O的圆心作OE⊥AC，垂足为E，
∴AE=
AC=
x，OE=
=
．
∵∠DEO=∠AOB=90°，
∴∠D=90°-∠EOD=∠AOE，
∴△ODE∽△AOE．
∴
=
，
∵OD=y+5，
∴
=
．
∴y关于x的函数解析式为：
y=
，定义域为：0＜x＜5
．
（3）解：如图2，当BD=
OB时，
则y=
，
即
=
，
∴解得：x=6．
∴AE=
x=3，OE=
=4．
当点O1在线段OE上时，
O1E=OE-OO1=2，
O1A=
=
=
．
当点O1在线段EO的延长线上时，O1E=OE+OO1=6，
O1A=
=
=
．
∴⊙O1的半径为
或3
．
（4）存在，当点C为
的中点时，△DCB∽△DOC．
证明：∵当点C为
的中点时，∠BOC=∠AOC=
∠AOB=45°，
又∵OA=OC=OB，
∴∠OCA=∠OCB=
=67.5°，
∴∠DCB=180°-∠OCA-∠OCB=45°．
∴∠DCB=∠BOC．
又∵∠D=∠D，
∴△DCB∽△DOC．
∴存在点C，使得△DCB∽△DOC．
（1）解：如图1，过⊙O的圆心作OE⊥AC，垂足为E，∴AE=
| 1 |
| 2 |
| AO2-AE2 |
| 6 |
∵∠DEO=∠AOB=90°，∴∠D=90°-∠EOD=∠AOE，
∴△ODE∽△AOE．
∴
| OD |
| OE |
| AO |
| AE |
∵OD=y+5，
∴
| y+5 | ||
2
|
| 5 |
| 1 |
解得：y=10
| 6 |
（2）解：如图1，过⊙O的圆心作OE⊥AC，垂足为E，
∴AE=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| AO2-AE2 |
25-
|
∵∠DEO=∠AOB=90°，
∴∠D=90°-∠EOD=∠AOE，
∴△ODE∽△AOE．
∴
| OD |
| OE |
| AO |
| AE |
∵OD=y+5，
∴
| y+5 | ||||
|
| 5 | ||
|
∴y关于x的函数解析式为：
y=
5
| ||
| x |
| 2 |
（3）解：如图2，当BD=
| 1 |
| 3 |
则y=
| 5 |
| 3 |
即
| 5 |
| 3 |
5
| ||
| x |
∴解得：x=6．
∴AE=
| 1 |
| 2 |
| 52-32 |
当点O1在线段OE上时，
O1E=OE-OO1=2，
O1A=
| O1E2+AE2 |
| 22+32 |
| 13 |
当点O1在线段EO的延长线上时，O1E=OE+OO1=6，
O1A=
| O1E2+AE2 |
| 62+32 |
| 5 |
∴⊙O1的半径为
| 13 |
| 5 |
（4）存在，当点C为
|
| AB |
证明：∵当点C为
|
| AB |
| 1 |
| 2 |
又∵OA=OC=OB，
∴∠OCA=∠OCB=
| 180°-45° |
| 2 |
∴∠DCB=180°-∠OCA-∠OCB=45°．
∴∠DCB=∠BOC．
又∵∠D=∠D，
∴△DCB∽△DOC．
∴存在点C，使得△DCB∽△DOC．
点评：本题主要考查了圆与圆的位置关系、勾股定理．此题很复杂，解答此题的关键是作出辅助线OE⊥AC，利用相似三角形的判定定理及性质解答，解答（3）时注意分两种情况讨论，不要漏解．
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B、(
| ||||
C、(
| ||||
D、(
|
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