Question

如图，正方形ABCD的边长为3，将正方形ABCD绕点A顺时针旋转角度α（0°＜α＜90°），得到正方形AEFG，FE交线段DC于点Q，FE的延长线交线段BC于点P，连结AP、AQ．

（1）求证：△ADQ≌△AEQ；

（2）求证：PQ＝DQ＋PB；

（3）当∠1=∠2时，求PQ的长．（杭十五中模拟）

Answer 1

（1）∵ABCD是正方形，∴在Rt△ADQ和Rt△AEQ中，

有AD＝AE，AQ＝AQ， ∴△ADQ≌△AEQ（HL）

（2）同理可证得△AEP≌△ABP-

∴PB＝PE，由（1）QD＝QE，∴PQ＝QE＋PE＝DQ＋PB-

（3）当∠1=∠2时，Rt△ADQ∽Rt△PCQ，∴∠3＝∠4，又∵∠3＝∠5

∴∠3＝∠4＝∠5，且∠3＋∠4＋∠5＝180°，∴∠3＝60° --------------1分

∴Rt△ADQ中，AD＝3，DQ＝

∴QC＝3—，∴PQ＝2QC＝ 6—2