Question

【题目】如图，在ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，BD=DC，AB=6，AD=8，点P、Q分别为BC、AD上的动点，连接PQ，与BD相交于点O．

（1）当∠1=∠2时，求证：∠DOQ=∠DPC；

（2）当（1）的条件下，求证：DQ·PC=BD·DO；

（3）如果点P由点B向点C移动，每秒移动2个单位，同时点Q由点D向点A移动，每秒移动1个单位，设移动的时间为t秒，是否存在某一时刻，使得△BOP为直角三角形，如果存在，请直接写出t的值；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）见详解；（2）见详解；（3）存在；当t＝秒或t＝秒时，△BOP为直角三角形．

【解析】

（1）根据相似三角形的判定定理证明△DOP∽△DPB，得到∠DOP=∠DPB，根据邻补角的

性质证明结论；

（2）证明△DOQ∽△CPD，根据相似三角形的对应边成比例证明结论；

（3）分①∠BPO=90°和②∠POB=90°两种情况，根据矩形的性质和相似三角形的性质计算即可．

（1）证明：∵∠PDO=∠BDP，∠1=∠2，

∴△DOP∽△DPB，

∴∠DOP=∠DPB，

∵∠DOQ+∠DOP=∠DPC+∠DPB=180°，

∴∠DOQ=∠DPC；

（2）证明：∵AD∥BC，

∴∠ADO=∠1，

∵BD=DC，

∴∠1=∠C，

∴∠ADO=∠C，

又∵∠DOQ=∠DPC，

∴△DOQ∽△CPD，

∴，

∵BD=DC，

∴，

∴DQPC=BDDO；

（3）存在，

①如图1，当∠BPO=90°时，

∵BP=2t，DQ=t，

∴AQ=8-t

∵此时AQ=BP

∴8-t=2t

∴t＝；

②如图2，当∠POB=90°时，

∵△DOQ∽△BOP

∴

∵AB=6，AD=8，

∴BD=10，

∴DO=

∵△DOQ∽△DBA，

∴，

∴，

∴t＝．

综上所述，当t＝秒或t＝秒时，△BOP为直角三角形．