Question

【题目】综合与探究

问题情境

在综合实践课上，老师让同学们探究“平面直角坐标系中的旋转问题”．如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点，点，点．

操作发现

以点为中心，顺时针旋转矩形，得到矩形，点，，的对应点分别为，，．

（1）如图①，当点落在边上时，求点的坐标；

继续探究

（2）如图②，当点落在线段上时，与交于点．

①求证；

②求点的坐标．

拓展探究

（3）如图①，点是轴上任意一点，点是平面内任意一点，是否存在点使以、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①见解析；②；（3）存在，，，，

【解析】

（1）根据矩形的性质得到OB＝AC＝3，OA＝BC＝5，∠C＝90°，根据旋转变换的性质得到AD＝OA＝5，根据勾股定理求出CD，得到点D的坐标；
（2）①根据旋转变换的性质得到OA＝DA，∠AOB＝∠ADE＝90°，利用HL定理证明△ADB≌△AOB；
②根据全等三角形的性质得到BD＝BO＝AC，根据△BDH≌△ACH，得到DH＝CH，根据勾股定理求出CH，得到点H的坐标；

（3）分四种情况进行讨论：①当四边形ADNM为菱形，且点N在点D左侧时；②当四边形ADNM为菱形，且点N在点D右侧时；③当四边形ADMN为菱形时，④当四边形ANDM为菱形时，根据菱形的性质即可求解．

（1）如图①中，

∵，，

∴，，

∵四边形是矩形，

∴，，，

∵矩形是由矩形旋转得到，

∴，

在中，，

∴，

∴

（2）①如图②中，

由四边形是矩形，得到，

点在线段上，

，

由（1）可知，，又，，

∴

②∵，

∴，

又在矩形中，，

∴，

∴，

∴，设，则，

在中，∵，

∴，

∴，

∴，

∴.

（3）存在，

①当四边形ADNM为菱形，且点N在点D左侧时，

∵AD=5，

∴ND=AD=AM=5，

又BD=1，

∴BN=5-1=4，

∵点M在x轴上，

∴DN∥AM，

∴N（-4,3）

②当四边形ADNM为菱形，且点N在点D右侧时，

∵AD=5，

∴ND=AD=AM=5，

又BD=1，

∴BN=5+1=6，

∵点M在x轴上，

∴DN∥AM，

∴N（6,3）

③当四边形ADMN为菱形时，

∵点M在x轴上，

∴点D与点N关于x轴对称，

∵D（1，3）,

∴N（1，-3）

④当四边形ANDM为菱形时，则MN⊥AD，

∵AM∥DC，点M在x轴上，

∴点N在BC上，DN=AN，

设CN=a，则DN=AN=4-a，

∴,即，解得：a=,

∴BN=，

故

综上所述：，，，