Question

如图，圆锥底面半径为1cm，母线长为3cm．底面圆周上有一蚂蚁位于A点，它从A点出发沿圆锥面爬行一周后又回到原出发点，请你给它指出一条爬行最短的路径，并求出最短路径．

Answer 1

分析：先把圆锥的侧面展开，连接AA′，过点O作OD⊥AA′，交AA′于点C，利用利用底面周长=展开图的弧长可求出圆心角的度数，再根据勾股定理求出弦的长度即可．

解答：解：把圆锥沿过点A的母线展成如图所示扇形，
连接AA′，过点O作OD⊥AA′，交AA′于点C，
则蚂蚁运动的最短路程为AA′（线段）．
∵圆锥底面半径为1cm，母线长为3cm，
∵OA=OA′=3cm，

ADA′

的长为2π．
∴2π=

nπ•3

180

，
解得n=120°，即∠AOA′=120°，
∵OA=OA′，OD⊥AA′，
∴∠AOD=60°，AA′=2AC，
∴∠OAC=30°，
∴OC=

1

2

OA=

1

2

×3=

3

2

cm，
∴AC=

OA2-OC2

=

32-( 3 2 )2

=

3 3

2

cm，
∴AA′=2AC=3

3

cm，即蚂蚁运动的最短路程是3

3

cm．

点评：本题考查的是平面展开-最短路径问题，先根据题意画出圆锥的侧面展开图，作出辅助线，再根据勾股定理及垂径定理求解是解答此题的关键．