Question

如图，圆锥底面半径为r，母线长为3r，底面圆周上有一蚂蚁位于A点，它从A点出发沿圆锥面爬行一周后又回到原出发点，请你给它指出一条爬行最短的路径，并求出最短路径．

Answer 1

分析：此题的关键是找到这一条最短的路径，根据两点之间线段最短可求，利用底面周长=展开图的弧长可求出圆心角的度数，再根据勾股定理求出弦的长度．

解答：解：把圆锥沿过点A的母线展成如图所示扇形，
则蚂蚁运动的最短路程为AA′（线段）．

由此知：OA=OA′=3r，

ADA′

的长即为圆锥的底面周长为2πr．
∴2πr=

nπ•3r

180

，n=120°，
即∠AOA′=120°，∠OAC=30度．
∵OA=OA′，
∴OC⊥AA′，
∴OC=

1

2

OA=

3

2

r．
∴AC=

OA2-CO2

=

3

2

3

r．
∴AA′=2AC=3

3

r，
即蚂蚁运动的最短路程是3

3

r．

点评：此题的关键是找到这一条最短的路径，并熟悉圆锥的展开图，根据已知的条件求弦长．