Question

【题目】如图，在平行四边形ABCD中，AB＝2，∠ABC＝45°，点E为射线AD上一动点，连接BE，将BE绕点B逆时针旋转60°得到BF，连接AF，则AF的最小值是_____．

Answer 1

【答案】

【解析】

如图，以AB为边向下作等边△ABK，连接EK，在EK上取一点T，使得AT＝TK．再证明△ABF≌△KBE，可得AF＝EK；然后根据垂线段最短可知，当KE⊥AD时，KE的值最小，最后解直角三角形求出EK即可．

解：如图，以AB为边向下作等边△ABK，连接EK，在EK上取一点T，使得AT＝TK．

∵BE＝BF，BK＝BA，∠EBF＝∠ABK＝60°，

∴∠ABF＝∠KBE，

∴△ABF≌△KBE（SAS），

∴AF＝EK，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，

∵∠ABC＝45°，

∴∠BAD＝180°﹣∠ABC＝135°，

∵∠BAK＝60°，

∴∠EAK＝75°，

∵∠AEK＝90°，

∴∠AKE＝15°，

∵TA＝TK，

∴∠TAK＝∠AKT＝15°，

∴∠ATE＝∠TAK+∠AKT＝30°，

设AE＝a，则AT＝TK＝2a，ET＝a，

在Rt△AEK中，

∵AK2＝AE2+EK2，

∴a2+（2a+a）2＝2，

∴a＝，

∴EK＝2a+a＝，

∴AF的最小值为．

故答案为．