Question

1．若△ABC和△DEF的面积分别为S₁、S₂．
（1）如图①，AC=DF，BC=DE，∠C=30°，∠D=150°，比较S₁与S₂的大小为C；
A．S₁＞S₂B．S₁＜S₂        C．S₁=S₂D．不能确定
（2）说明（1）的理由．
（3）如图②，在△ABC与△DEF中，AC=DF，BC=DE，∠C=30°，点E在以D为圆心，DE长为半径的半圆上运动，∠EDF的度数为α，比较S₁与S₂的大小（直接写出结果，不用说明理由）．

Answer 1

分析 （1）先直接判断出结论，
（2）用三角形的面积公式即可得出结论；
（3）用三角形的面积公式，再用三角函数中正弦值的性质分类讨论即可得出结论．

解答 解：（1）故答案为：C   
（2）如图1，
作BG⊥AC垂足为G，作EH⊥DF，垂足为H，
在Rt△BCG中，∠C=30°，
∴BG=BCsin∠C=BCsin30°=$\frac{1}{2}$BC，
∴S₁=$\frac{1}{2}$AC×BG=$\frac{1}{2}$AC×$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{4}$AC×BC
在Rt△EDH中，∠EDH=180°-∠EDF=30°，
∴EH=EDsin∠EDH=EDsin30°=$\frac{1}{2}$ED，
∴S₂=$\frac{1}{2}$DF×EH=$\frac{1}{2}$DF×$\frac{1}{2}$ED=$\frac{1}{4}$DF×DE，
∵BC=DE，AC=DF，
∴S₁=S₂

（3）如图2，过点B作BG⊥AC，
①当0°＜α≤90°时，
在Rt△BCG中，∠C=30°，
∴BG=BCsin∠C=BCsin30°=$\frac{1}{2}$BC，
∴S₁=$\frac{1}{2}$AC×BG=$\frac{1}{2}$AC×$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{4}$AC×BC，
∵BC=DE，AC=DF，
∴S₁=$\frac{1}{4}$DF×DE=$\frac{1}{2}$DF×DE×$\frac{1}{2}$，
在Rt△EDH中，∠EDH=α，
∴EH=EDsin∠EDH=EDsinα，
∴S₂=$\frac{1}{2}$DF×EH=$\frac{1}{2}$DF×$\frac{1}{2}$ED=$\frac{1}{2}$DF×DEsinα，
Ⅰ、当sinα＜$\frac{1}{2}$时，即：0°＜α＜30°时，S₁＞S₂，
Ⅱ、当sinα=$\frac{1}{2}$时，即：α=30°时，S₁=S₂，
Ⅲ、当sinα＞$\frac{1}{2}$时，即：30°＜α≤90°时，S₁＜S₂，
②当90°＜α＜180°时，设∠MDN=β=180°-α，
同①方法得，S₁=$\frac{1}{2}$DF×DE×$\frac{1}{2}$，
S₂=$\frac{1}{2}$DF×DEsinβ，
Ⅰ、当sinβ＜$\frac{1}{2}$时，即：0°＜β＜30°时，
∴0°＜180°-α＜30°，即：150°＜α＜180°时，S₁＞S₂，
Ⅱ、当sinβ=$\frac{1}{2}$时，即：β=30°时，即：α=150°时，S₁=S₂，
Ⅲ、当sinβ＞$\frac{1}{2}$时，即：30°＜β＜90°时，即：90°＜α＜150°时，S₁＜S₂，
综上所述，
Ⅰ．当α＜30°、150°＜α＜180°时S₁＞S₂；
Ⅱ．当α=30°、α=150°时S₁=S₂；
Ⅲ．当30°＜α＜150°时，S₁＜S₂．

点评 此圆的综合题，主要考查了圆的性质，三角形的面积公式，锐角三角函数及其性质，解本题的关键是求出S₂，是一道比较简单的综合题．