题目内容

如图，⊙O的半径为1，等腰直角三角形ABC的顶点B的坐标为（ $数学公式$ ，0），∠CAB=90°，AC=AB，顶点A在⊙O上运动．
（1）当点A在x轴上时，求点C的坐标；
（2）当点A运动到x轴的负半轴上时，试判断直线BC与⊙O位置关系，并说明理由；
（3）设点A的横坐标为x，△ABC的面积为S，求S与x之间的函数关系式，并求出S的最大值与最小值；
（4）当直线AB与⊙O相切时，求AB所在直线对应的函数关系式．

解：（1）当点A的坐标为（1，0）时，AB=AC= $\text{[math]}$ -1，点C的坐标为（1， $\text{[math]}$ -1）或（1，1- $\text{[math]}$ ）；
当点A的坐标为（-1，0）时，AB=AC= $\text{[math]}$ +1，点C的坐标为（-1， $\text{[math]}$ +1）或（-1，- $\text{[math]}$ -1）；

（2）直线BC与⊙O相切
过点O作OM⊥BC于点M，
∴∠OBM=∠BOM=45°，
∴OM=OB•sin45°=1
∴直线BC与⊙O相切；

（3）过点A作AE⊥OB于点E
在Rt△OAE中，AE²=OA²-OE²=1-x²，
在Rt△BAE中，AB²=AE²+BE²=（1-x²）+（ $\text{[math]}$ -x）²=3-2 $\text{[math]}$ x
∴S= $\text{[math]}$ AB•AC= $\text{[math]}$ AB²= $\text{[math]}$ （3-2 $\text{[math]}$ x）= $\text{[math]}$
其中-1≤x≤1，
当x=-1时，S的最大值为 $\text{[math]}$ ，
当x=1时，S的最小值为 $\text{[math]}$ ．

（4）①当点A位于第一象限时（如右图）：
连接OA，并过点A作AE⊥OB于点E
∵直线AB与⊙O相切，
∴∠OAB=90°，
又∵∠CAB=90°，
∴∠CAB+∠OAB=180°，
∴点O、A、C在同一条直线
∴∠AOB=∠C=45°，即∠CBO=90°，
在Rt△OAE中，OE=AE= $\text{[math]}$ ，
点A的坐标为（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）
过A、B两点的直线为y=-x+ $\text{[math]}$ ．

②当点A位于第四象限时（如右图）：
点A的坐标为（ $\text{[math]}$ ，- $\text{[math]}$ ）
∵B的坐标为（ $\text{[math]}$ ，0）
∴过A、B两点的直线为y=x- $\text{[math]}$ ．
分析：（1）中有两种情况，即A点坐标为（1，0）或（-1，0），根据AB=AC，求出C点坐标．
（2）根据题意过点O作OM⊥BC于点M，求出OM的长，与半径比较得出位置关系．
（3）过点A作AE⊥OB于点E，在Rt△OAE中求AE的长，然后再在Rt△BAE中求出AB的长，进而求出面积的表达式，根据定义域确定最大最小值．
（4）相切时有两种情况，在第一象限或者第四象限，连接OA，并过点A作AE⊥OB于点E，在Rt△OAE中求出OE，然后就能求出A点坐标，AB所在直线对应的函数关系式很容易就能求出．
点评：本题是一次函数与圆、三角形结合的题，用到了圆的性质，圆与直线的关系以及三角形相似等知识，知识面比较广，要求综合能力比较高．