Question

12．如图，在矩形ABCD中，已知AD＞AB，在边AD上取点E，连结CE，过点E作EF⊥CE，与边AB的延长线交于点F．
（1）证明：△AEF∽△DCE．
（2）若AB=2，AE=3，AD=7，求线段AF的长．

Answer 1

分析 （1）由四边形ABCD为矩形，于是得到∠A=∠D=90°，根据垂直的定义得到∠AEF+∠DEC=90°，于是得到∠F=∠DEC，即可得到结论；
（2）由四边形ABCD为矩形，得到DC=AB=2，求出ED=AD-AE=4，根据相似三角形的性质得到$\frac{AF}{ED}=\frac{AE}{DC}$，代入数据即可得到结论．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴∠A=∠D=90°，
∵CE⊥EF，
∴∠AEF+∠DEC=90°，
又∵∠F+∠AEF=90°，
∴∠F=∠DEC，
∴△AEF∽△DCE；

（2）解：∵四边形ABCD为矩形，
∴DC=AB=2，
∵AE=3，AD=7，
∴ED=AD-AE=4，
∵△AEF∽△DCE，
∴$\frac{AF}{ED}=\frac{AE}{DC}$，
∴$\frac{AF}{4}=\frac{3}{2}$，
∴AF=6．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．