Question

（2007•西城区一模）如图，在△ABC中，∠C=90°，D、E在BC上，BD=DE=EC=AC，指出图中哪两个三角形相似，并证明你的结论．

Answer 1

分析：△ADE与△AEB相似，证明如下：由∠C=90°，且AC=EC，得到△AEC为等腰直角三角形，且得到BE等于2AB，同时可得出∠AEC=45°，根据锐角三角函数定义表示出关系式，得出AE与AC的关系，即为AE与DE的关系，求出AE与DE的比值，由BE为AC的2倍，求出BE与AE的比值，可得出两比值相等，再根据夹角为公共角，利用两对对应边成比例且夹角相等的两三角形相似，可得出△ADE与△AEB相似，得证．

解答：解：△AED∽△BEA，…（2分）
证明如下：
在△AED和△BEA中，
∵△ABC中，∠C=90°，BD=DE=EC=AC，
∴△AEC为等腰直角三角形，BE=BD+DE=2BD=2AC，
∴∠AEC=45°，即sin∠AEC=

AC

AE

，
∴AE=

AC

2 2

=

2

AC，
∴

AE

DE

=

BE

AE

=

2

2

=

2

，…（3分）
∵∠AED=∠BEA，…（4分）
∴△AED∽△BEA．…（5分）

点评：此题考查了等腰直角三角形的判定与性质，锐角三角函数定义，以及相似三角形的判定，相似三角形的判定方法有：两对对应角相等的两三角形相似；三边对应成比例的两三角形相似；两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似，熟练掌握相似三角形的判定方法是解本题的关键．