Question

（2007•西城区一模）如图，正方形ABCD的边长为1，点P为BC边上的任意一点（可与点B或C重合），分别过B、D作AP的垂线段，垂足分别是B₁、D₁．猜想：(DD1)2+(BB1)2的值，并对你的猜想加以证明．

Answer 1

分析：首先根据四边形ABCD是正方形，得出AD=AB，再根据∠DD₁A=∠AB₁B=90°，得出∠DAD₁=∠ABB₁，从而证出△ADD₁≌△BAB₁，AD₁=BB₁，最后再根据 (DD1)2+(BB1)2=(DD1)2+(AD1)2=AD²，即可求出答案．

解答：解：猜想：(DD1)2+(BB1)2的值是1；
证明如下：在△ADD₁和△ABB₁中
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB，
∵AD₁⊥DD₁，BB₁⊥AB₁，
∴∠DD₁A=∠AB₁B=90°，
∵∠DAD₁+∠B₁AB=∠B₁AB+∠ABB₁，
∴∠DAD₁=∠ABB₁，
∴△ADD₁≌△BAB₁，
∴AD₁=BB₁，
∵(DD1)2+(BB1)2=(DD1)2+(AD1)2=AD²=1，
∴(DD1)2+(BB1)2=1；

点评：此题考查了正方形的性质与直角三角形的性质．此题难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意等量代换知识的应用．