题目内容
【题目】如图，已知：抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，点D为顶点，连接BD，CD，抛物线的对称轴与x轴交与点E．
（1）求抛物线解析式及点D的坐标；
（2）G是抛物线上B，D之间的一点，且S四边形CDGB＝4S△DGB，求出G点坐标；
（3）在抛物线上B，D之间是否存在一点M，过点M作MN⊥CD，交直线CD于点N，使以C，M，N为顶点的三角形与△BDE相似？若存在，求出满足条件的点M的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
；顶点
；（2）
；（3）存在，点
或
．
【解析】
（1）利用待定系数法可求得抛物线的解析式，然后化成顶点式可得点D的坐标；
（2）连接BC，BG，DG，首先求出
，然后根据S四边形CDGB＝4S△DGB可得
，求出直线
的解析式，设
，则H（x，2x-6），根据得出方程，解方程求出x即可解决问题；
（3）如图3，以C，M，N为顶点的三角形与△BDE相似，则以B，C，P为顶点的三角形与△BDE相似，则
或
，求出
或
；然后分和两种情况，分别求出直线CP的解析式即可解决问题．
解：（1）
抛物线
与
轴交于
，
两点，
，解得
，
∴抛物线的解析式为：；
，
顶点的坐标为
；
（2）如图2，连接
，BG，DG，
在中，令
，则
，
∴点
，
∴易求直线的解析式为
，
设直线与对称轴相交于点
，
当
时，
，
∴点
，
∴
，
，
四边形
，
，
设过点
与
轴平行的直线交BD于点
，直线的解析式为
，
则
，解得
，
∴直线的解析式为
，
设，则H（x，2x-6），
∴
，
∴
，
整理得，
，
解得：
，则
，
∴点；
（3）存在，
由勾股定理得，
，
如图3，过点
作
交
的延长线于
，
，，
，
，
与轴的夹角都是
，
，
又
，
，
，
以
、
、
为顶点的三角形与
相似，
以、、为顶点的三角形与相似，
或，即
或
，
解得：或，
过点作
轴于
，
，
，
①当时，
，
∴
，
∴点
，
设直线
的解析式为，
则
，解得
，
∴直线的解析式为
，
联立
，解得：
（舍去），
，
∴点；
②当时，
，
∴
，
∴点
，
设直线的解析式为，
则
，解得
，
∴直线的解析式为
，
联立
，解得（舍去），
，
点
，
综上所述，存在点或，使以、、为顶点的三角形与相似．
