Question

如图，在矩形ABCD中，AD=8，E是边AB上一点，且AE=

1

4

AB．⊙O经过点E，与边CD所在直线相切于点G（∠GEB为锐角），与边AB所在直线交于另一点F，且EG：EF=

5

：2．当边AD或BC所在的直线与⊙O相切时，AB的长是

 

．

Answer 1

考点：切线的性质,矩形的性质

专题：几何图形问题,压轴题

分析：过点G作GN⊥AB，垂足为N，可得EN=NF，由EG：EF=

5

：2，得：EG：EN=

5

：1，依据勾股定理即可求得AB的长度．

解答：解：边AB所在的直线不会与⊙O相切；边BC所在的直线与⊙O相切时，
如图，过点G作GN⊥AB，垂足为N，
∴EN=NF，
又∵EG：EF=

5

：2，
∴EG：EN=

5

：1，
又∵GN=AD=8，
∴设EN=x，则GE=

5

x，根据勾股定理得：
(

5

x)2-x2=64，解得：x=4，GE=4

5

，
设⊙O的半径为r，由OE²=EN²+ON²
得：r²=16+（8-r）²，
∴r=5．∴OK=NB=5，
∴EB=9，
又AE=

1

4

AB，
∴AB=12．
同理，当边AD所在的直线与⊙O相切时，AB=4．
故答案为：12或4．

点评：本题考查了切线的性质以及勾股定理和垂径定理的综合应用，解答本题的关键在于做好辅助线，利用勾股定理求出对应圆的半径．