Question

如图，?ABCD在平面直角坐标系中，AD=6，若OA、OB的长是关于x的一元二次方程x²-7x+12=0的两个根，且OA＞OB．
（1）求AB的长；
（2）求CD的所在直线的函数关系式；
（3）若动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿B→A方向运动，过P作x轴的垂线交x轴于点E，若S_△PBE=

1

3

S△ABO，求此时点P的坐标．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：

分析：（1）首先解方程求得OA和OB的长，然后利用勾股定理求得AB的长即可；
（2）首先求得点A和点B的坐标，然后平移得到点C和点D的坐标，利用待定系数法求得直线CD的解析式即可；
（3）根据PE∥AO得到△BPE∽△BAO，利用S_△PBE=

1

3

S△ABO得到相似比为

1 3

=

3

3

，从而列式

BE

BO

=

PE

AO

=

3

3

求得BE=

3

，PE=

4 3

3

，然后求得EO=BO-BE=3-

3

后即可求得点P的坐标．

解答：解：（1）方程x²-7x+12=0可因式分解为（x-3）（x-4）=0，
解得：x=3或x=4，
∵OA、OB的长是关于x的一元二次方程x²-7x+12=0的两个根，且OA＞OB，
∴OA=4，OB=3，
∴AB=

OA2+OB2

=5；

（2）∵OA=4，OB=3，
∴A（0，4），B（-3，0），
∵AD=BC=6，
∴C（3，0），D（6，4），
设直线CD的解析式为y=kx+b，
∴

3k+b=0 6k+b=4

解得：k=

4

3

，b=-4，
∴直线CD的解析式为y=

4

3

x-4；

（3）∵PE⊥x轴，
∴PE∥AO，
∴△BPE∽△BAO，
∵S_△PBE=

1

3

S△ABO，
∴相似比为

1 3

=

3

3

，
∴

BE

BO

=

PE

AO

=

3

3

，
即：

BE

3

=

PE

4

=

3

3

，
∴BE=

3

，PE=

4 3

3

，
∴EO=BO-BE=3-

3

∴点P的坐标为（

3

-3，

4 3

3

）；

点评：本题考查了一次函数的综合知识，题目中多次进行了点的坐标和线段的长的转化，这是解决本题的关键，难度中等偏上．