Question

2．△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AD=4，sin∠ACD=$\frac{4}{5}$，求CD和cos∠BCD的值．

Answer 1

分析 根据三角函数的定义结合已知条件可以求出AC、CD，利用∠BCD=∠A求∠BCD的余弦值．

解答 解：∵CD⊥AB，
∴∠ADC=90°，
∵sin∠ACD=$\frac{AD}{AC}$=$\frac{4}{5}$，AD=4，
∴AC=5，
∴CD=$\sqrt{A{C}^{2}-A{D}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{4}^{2}}$=3，
∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠ACD=90°，∠ACD+∠BCD=90°，
∴∠BCD=∠A，
∴cos∠BCD=cos∠A=$\frac{AD}{AC}$=$\frac{4}{5}$．

点评 本题考查直角三角形的性质、三角函数的定义、勾股定理、同角的余角相等等知识，熟记性质是解题的关键，作出图形更形象直观．