Question

已知a、b、c是△ABC的三条边，a+b=

3

c，且方程a（1-x²）+2bx+c（1+x²）=0有两个相等的实数根，求sinA+sinB的值．

Answer 1

考点：根的判别式,勾股定理的逆定理,锐角三角函数的定义

专题：

分析：首先将原方程整理为一般形式，根据该方程有两个相等的实数根，得到△=0；整理得：a²+b²=c²，△ABC为直角三角形；根据直角三角形的边角关系即可解决问题．

解答：解：将原方程整理为：
（c-a）x²+2bx+（a+c）=0，
∵该方程有两个相等的实数根，
∴△=0，即4b²-4（c-a）（a+c）=0，
∴a²+b²=c²，△ABC为直角三角形，
∴sinA+sinB=

a

c

+

b

c

=

a+b

c

；
∵a+b=

3

c，
∴sinA+sinB=

3 c

c

=

3

．

点评：该题以一元二次方程为载体，在考查根的判别式及其应用的同时，还考查了直角三角形的边角关系及其应用问题；对综合的分析问题解决问题的能力提出了一定的要求．