题目内容
22、如图，在正方形ABCD中，F是CD的中点，E是BC边上的一点，且AF平分∠DAE，求证：AE=EC+CD．分析：过F作FH⊥AE于H，通过证△AHF≌△ADF，△FHE≌△FCE，再通过等价转换可证得AE=EC+CD．
解答：
证明：∵AF平分∠DAE，∠D=90°，FH⊥AE，
∴∠DAF=∠EAF，FH=FD，
在△AHF与△ADF中，
∵AF为公共边，∠DAF=∠EAF，FH=FD（角平分线上的到角的两边距离相等），
∴△AHF≌△ADF（HL）．
∴AH=AD，HF=DF．
又∵DF=FC=FH，FE为公共边，
∴△FHE≌△FCE．
∴HE=CE．
∵AE=AH+HE，AH=AD=CD，HE=CE，
∴AE=EC+CD．
证明：∵AF平分∠DAE，∠D=90°，FH⊥AE，∴∠DAF=∠EAF，FH=FD，
在△AHF与△ADF中，
∵AF为公共边，∠DAF=∠EAF，FH=FD（角平分线上的到角的两边距离相等），
∴△AHF≌△ADF（HL）．
∴AH=AD，HF=DF．
又∵DF=FC=FH，FE为公共边，
∴△FHE≌△FCE．
∴HE=CE．
∵AE=AH+HE，AH=AD=CD，HE=CE，
∴AE=EC+CD．
点评：本题考查角平分线的性质，角平分线上的点到角的两边距离相等，也考查了等量代换的思想，属于比较典型的题目．
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