Question

【题目】如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E．

（1）求证：四边形ADCE为矩形；

（2）若矩形周长是18，且tan∠CAE＝2，则四边形ABDF的周长是　 　．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）6+3

【解析】

（1）求出∠DAE＝90°，根据三个角是直角是四边形是矩形即可证明；

（2）根据矩形的性质得到AE＝CD，AE∥CD，推出四边形ABDE是平行四边形，得到AB＝DE，设AE＝x，CE＝2x，根据矩形周长是18，求得AE＝3，CE＝6，根据勾股定理得到AC＝，于是得到结论．

（1）证明：∵AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，

∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD．

∴∠ADC＝90°，

∵AN为△ABC的外角∠CAM的平分线，

∴∠MAN＝∠CAN．

∴∠DAE＝90°，

∵CE⊥AN，

∴∠AEC＝90°，

∴四边形ADCE为矩形；

（2）解：∵四边形ADCE为矩形，

∴AE＝CD，AE∥CD，

∵BD＝CD，

∴AE＝BD，

∴四边形ABDE是平行四边形，

∴AB＝DE，

∵tan∠CAE＝＝2，

∴设AE＝x，CE＝2x，

∵矩形周长是18，

∴x+2x＝9，

∴x＝3，

∴AE＝3，CE＝6，

∴AC＝，

∴AB＝AC＝，DF＝AF＝AC＝，

∴四边形ABDF的周长是2×3+3＝6+3，

故答案为：6+3．