Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A，B，其中点B的坐标为（4，0），与y轴交于点C（0，2）．

（1）求抛物线y＝﹣+bx+c和直线BC的函数表达式；

（2）点P是直线BC上方的抛物线上一个动点，当点P到直线BC的距离最大时，求点P的坐标；

（3）连接点O与（2）中求出的点P，交直线BC于点D，点N是直线BC上的一个动点，连接ON，作DF⊥ON于点F，点F在线段ON上，当OD＝DF时，请直接写出点N的坐标．

Answer 1

【答案】（1），；（2）P（2，3）；（3）或

【解析】

（1）分别利用待定系数法求解即可；

（2）作PQ⊥x轴交BC于Q，连结PC，PB，表示出PQ，根据PQ最大时，S△PBC最大，此时，P到BC的距离最大进行求解；

（3）分N在D的右边和左边两种情况讨论，可得△DON～△DBO，然后求出DN，BN，从而进一步求出N的坐标．

解：（1）将代入，

得，解得 ，

∴；

设BC：y＝kx+m，

则，解得：，

∴；

（2）作PQ⊥x轴交BC于Q，连结PC，PB

设，，

∴，

∴当x＝2，PQ最大值为2，

∵，

∴当PQ最大时，S△PBC最大，此时，P到BC的距离最大，

∴P（2，3）；

（3）由（2）得P（2，3）

∴直线，

联立，解得 ，

∴，

∴，

∴；

①当N在D的右侧时，如图，作NG⊥OB于G，

∵OC＝2，BC＝，

∴，

∴∠DON＝∠OBC，

∴△DON～△DBO，

∴，

∴OD2＝DNBD，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴；

②当N在D的左侧时，

同理可得：，，，

∴，

综上所述：或．