Question

9．如图，已知等边△ABC，AB=2，点D在AB上，点F在AC的延长线上，BD=CF，DE⊥BC于E，FG⊥BC于G，DF交BC于点P，则下列结论：①BE=CG；②△EDP≌△GFP；③∠EDP=60°；④EP=1中，一定正确的是①②④．

Answer 1

分析 由等边三角形的性质可以得出△DEB≌△FGC，就可以得出BE=CG，DE=FG，就可以得出△DEP≌△FGP，得出∠EDP=∠GFP，EP=PG，得出PC+BE=PE，就可以得出PE=1，从而得出结论．

解答 解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC，∠A=∠B=∠ACB=60°．
∵∠ACB=∠GCF，
∵DE⊥BC，FG⊥BC，
∴∠DEB=∠FGC=∠DEP=90°．
在△DEB和△FGC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DEB=∠FGC}\\{∠GCF=∠A}\\{BD=CF}\end{array}\right.$，
∴△DEB≌△FGC（AAS），
∴BE=CG，DE=FG，故①正确；
在△DEP和△FGP中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DEP=∠FGP}\\{∠DPE=∠FPG}\\{DE=FG}\end{array}\right.$，
∴△DEP≌△FGP（AAS），故②正确；
∴PE=PG∠EDP=∠GFP≠60°，故③错误；
∵PG=PC+CG，
∴PE=PC+BE．
∵PE+PC+BE=2，
∴PE=1，故④正确．
故答案为：①②④．

点评 本题考查了等边三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．