Question

有一块直角三角形的绿地，量得两直角边长分别为3cm，4cm．现在要将绿地扩充成等腰三角形，且扩充部分是以4cm为直角边的直角三角形，请画出图形并直接写出扩充后等腰三角形绿地的周长．（友情提醒：不写画法，作图工具不限）

Answer 1

分析：由于扩充所得的等腰三角形腰和底不确定，若设扩充所得的三角形是△ABD，则应分为①BC=CD，②AC=CD，③AD=BD，④AB=BD，4种情况进行讨论．

解答：解：如图所示：
（1）图1：当BC=CD=3cm时；
由于AC⊥BD，则AB=AD=5cm；
此时等腰三角形绿地的周长=5+5+3+3=16（cm）；

（2）图2：当AC=CD=4cm时；
∵AC⊥CB，
∴AB=BD=5cm，
此时等腰三角形绿地的周长=5+5+4+4=18（cm）；

（3）图3：当AD=BD时，设AD=BD=xcm；
Rt△ACD中，BD=xcm，CD=（x-3）cm；
由勾股定理，得AD²=DC²+CA²，即（x-3）²+4²=x²，解得x=

25

6

；
此时等腰三角形绿地的周长=

25

6

×2+5=

40

3

（cm）．

（4）如图4，延长BC到D使BD等于5cm，
此时AB=BD=5cm，
故CD=2cm，
则AD=

42+22

=2

5

（cm），
此时等腰三角形绿地的周长=5+5+2

5

=（10+2

5

）（cm）．

点评：此题主要考查了等腰三角形的性质以及勾股定理的应用，解决问题的关键是根据题意正确画出图形．