Question

【题目】在平行四边形中，，，点、分别为、的两点．

（1）如图1，若，且，连接、，判断和的数量关系及位置关系，并说明理由；

（2）如图2，，求证：；

（3）如图3，若，点关于的对称点为点，点为平行四边形对角线的中点，连接交于点，求的长．

Answer 1

【答案】（1），；（2）详见解析；（3）

【解析】

（1）根据平行四边形的性质结合、、、的长度，即可证出，利用全等三角形的性质可得出、，再通过角的计算即可找出，即；

（2）在上取点，使，连接，则为等边三角形，根据平行四边形的性质结合角的计算可找出、，进而可证出，根据相似三角形的性质可得出，等量替换后可得出；

（3）连接、、，设交于点，利用面积法及勾股定理可求出的长度，易知为中位线，根据中位线的性质可得出的长度及，进而可得出，利用相似三角形的性质可得出，结合的长度即可求出的长度．

（1），．理由如下：

四边形为平行四边形，，

．

，，，

．

在和中，，

，

，．

，

，

，即．

（2）证明：如图2，在上取点，使，连接，则为等边三角形，

，

．

四边形为平行四边形，，

，

．

，，

，

，

，

，即．

（3）解：连接、、，设交于点，如图3所示，则为线段的垂直平分线．

，

平行四边形为矩形，

，，，

．

点为的中点，点为的中点，

，且，

，

，

．