Question

13．已知：如图1，抛物线的顶点为M，平行于x轴的直线与该抛物线交于点A，B（点A在点B左侧），根据对称性△AMB恒为等腰三角形，我们规定：当△AMB为直角三角形时，就称△AMB为该抛物线的“完美三角形”．
（1）①如图2，求出抛物线y=x²的“完美三角形”斜边AB的长；
②抛物线y=x²+1与y=x²的“完美三角形”的斜边长的数量关系是相等；
（2）若抛物线y=ax²+4的“完美三角形”的斜边长为4，求a的值；
（3）若抛物线y=mx²+2x+n-5的“完美三角形”斜边长为n，且y=mx²+2x+n-5的最大值为-1，求m，n的值．

Answer 1

分析 （1）①①过点B作BN⊥x轴于N，根据△AMB为等腰直角三角形，AB∥x轴，所以∠BMN=∠ABM=45°，所以∠BMN=∠MBN，得到MN=BN，设B点坐标为（n，n），代入抛物线y=x²，得n=n²，解得n=1，n=0（舍去），所以B（1，1），求出BM的长度，利用勾股定理，即可解答；
②因为抛物线y=x²+1与y=x²的形状相同，所以抛物线y=x²+1与y=x²的“完美三角形”的斜边长的数量关系是相等；
（2）根据抛物线y=ax²与抛物线y=ax²+4的形状相同，所以抛物线y=ax²与抛物线y=ax²+4的“完美三角形”全等，所以抛物线y=ax²+4的“完美三角形”斜边的长为4，所以抛物线y=ax²的“完美三角形”斜边的长为4，从而确定B点坐标为（2，2）或（2，-2），把点B代入y=ax²中，得到$a=±\frac{1}{2}$．
（3））根据y=mx²+2x+n-5的最大值为-1，得到$\frac{{4m（{n-5}）-4}}{4m}=-1$，化简得mn-4m-1=0，抛物线y=mx²+2x+n-5的“完美三角形”斜边长为n，所以抛物线y=mx²的“完美三角形”斜边长为n，所以B点坐标为$（{\frac{n}{2}，-\frac{n}{2}}）$，代入抛物线y=mx²，得${（{\frac{n}{2}}）^2}•m=-\frac{n}{2}$，mn=-2或n=0（不合题意舍去），所以$m=-\frac{3}{4}$，所以$n=\frac{8}{3}$．

解答 解：（1）①过点B作BN⊥x轴于N，如图2，

∵△AMB为等腰直角三角形，
∴∠ABM=45°，
∵AB∥x轴，
∴∠BMN=∠ABM=45°，
∴∠MBN=90°-45°=45°，
∴∠BMN=∠MBN，
∴MN=BN，
设B点坐标为（n，n），代入抛物线y=x²，
得n=n²，
∴n=1，n=0（舍去），
∴B（1，1）
∴MN=BN=1，
∴MB=$\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{2}$，
∴MA=MB=$\sqrt{2}$，
在Rt△AMB中，AB=$\sqrt{M{B}^{2}+M{A}^{2}}$=2，
∴抛物线y=x²的“完美三角形”的斜边AB=2．
②∵抛物线y=x²+1与y=x²的形状相同，
∴抛物线y=x²+1与y=x²的“完美三角形”的斜边长的数量关系是相等；
故答案为：相等．
（2）∵抛物线y=ax²与抛物线y=ax²+4的形状相同，
∴抛物线y=ax²与抛物线y=ax²+4的“完美三角形”全等，
∵抛物线y=ax²+4的“完美三角形”斜边的长为4，
∴抛物线y=ax²的“完美三角形”斜边的长为4，
∴B点坐标为（2，2）或（2，-2），
把点B代入y=ax²中，
∴$a=±\frac{1}{2}$．
（3）∵y=mx²+2x+n-5的最大值为-1，
∴$\frac{{4m（{n-5}）-4}}{4m}=-1$，
∴mn-4m-1=0，
∵抛物线y=mx²+2x+n-5的“完美三角形”斜边长为n，
∴抛物线y=mx²的“完美三角形”斜边长为n，
∴B点坐标为$（{\frac{n}{2}，-\frac{n}{2}}）$，
∴代入抛物线y=mx²，得${（{\frac{n}{2}}）^2}•m=-\frac{n}{2}$，
∴mn=-2或n=0（不合题意舍去），
∴$m=-\frac{3}{4}$，
∴$n=\frac{8}{3}$．

点评 本题考查了二次函数，解决本题的关键是理解“完美三角形”的定义，利用勾股定理，求出点B的坐标．