Question

如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，P是边BC上一点（除端点外），过点A，B，P作⊙O．
（1）指出圆心O的位置；
（2）当BP=3时，判断CD与⊙O的位置关系；
（3）当CD与⊙O相切时，求BC被⊙O截得的弦长．

Answer 1

分析：（1）∠ABP是圆周角，则AD是圆的直径，因而圆心是AP的中点．
（2）CD与⊙O相离，可以说明CD到圆心的距离大于半径．
（3）因为CD与⊙O相切，则OF是梯形APCD的中位线．在直角△ABP中根据勾股定理就可以得到．

解答：解：（1）根据90°的圆周角所对的弦是直径，则圆心O为AP的中点；

（2）过圆心O作EF∥AD交AB、CD于点E、F；
∵AB=BP=3，
∴AP=3

2

，
∴OP=

3

2

2

，
∵OE=

1

2

BP=1.5，
∴OF=2.5，
∵2.5＞

3

2

2

，
∴CD与⊙O相离；

（3）连接HP，交OF于点G，
∵AP是直径，
∴∠AHP=90°，
又∵OF⊥CD，
∴OF∥AD，
∵O是AP的中点，
∴G是HP的中点，
∴OG=

1

2

AH，
又∵GF=DH=PC
∴OF=

1

2

(AD+PC)，
∵CD与⊙O相切，F为切点，设BP=x，则PC=4-x，
在直角△ABP中，AP=

AB2+BP2

=

9+x2

，
∴OF=

1

2

AP=

9+x2

2

∴

1

2

[4+（4-x）]=

9+x2

2

，
解得：x=

55

16

．
∴PB=

55

16

．

点评：此题主要考查切线的判定与性质及矩形的性质等知识点的综合运用．