Question

如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是梯形，OA∥BC，点A的坐标为（6，0），点B的坐标为（4，3），点C在y轴的正半轴上．动点M在OA上运动，从O点出发到A点；动点N在AB上运动，从A点出发到B点，两个动点同时出发，速度都是每秒1个单位长度，当其中一个点到达终点时，另一个点也随即停止，设两个点的运动时间为t（秒）。
（1）求线段AB的长；当t为何值时，MN∥OC？
（2）设△CMN的面积为S，求S与t之间的函数解析式，并指出自变量t的取值范围；S是否有最小值？若有最小值，最小值是多少？
（3）连接AC，那么是否存在这样的t，使MN与AC互相垂直？若存在，求出这时的t值；若不存在，请说明理由。

Answer 1

解：（1）过点B作BD⊥OA于点D，则四边形CODB是矩形， BD=CO=4，OD=CB=3，DA=3， 在Rt△ABD中，， 当MN∥OC时，MN∥BD， ∴△AMN∽△ADB，， ∵AN=OM=t，AM=6-t，AD=3， ∴，即t=（秒）； （2）过点N作NE⊥x轴于点E，交CB的延长线于点F， ∵NE∥BD， ∴△AEN∽△ADB，， 即 ∵EF=CO=4， ∴FN=4-， ∵， ∴ ， 即（0≤t≤5）， 由，得， ∴当t=4时，S有最小值，且S最小=；  （3）设存在点P使MN⊥AC于点P， 由（2）得AE=，NE=， ∴ME=AM-AE=， ∵∠MPA=90°， ∴∠PMA+∠PAM=90°， ∵∠PAM+∠OCA=90°， ∴∠PMA=∠OCA， ∴△NME∽△ACO ∴NE：OA=ME：OC ∴  解得t= ∴存在这样的t，且t=。