Question

【题目】如图，△ABC内接于⊙O，过点C作CD⊥AB于点E，交⊙O于点D，延长AC交DB延长线于点F，BF＝，连接AO、CO．CO与AB相交于点G，∠CGE＝3∠CAB，OC＝10，将圆心O绕着点B旋转得到点O′，若点O′恰好落△ADF某一边上时，则OO′的长度为_____．

Answer 1

【答案】

【解析】

延长AO交BD于H，连接OB，OD，根据全等三角形的性质得到AB=AD，推出AH垂直平分BD，根据平行线分线段成比例得到 ，根据勾股定理得到OO′= =4 ，过O作OO′⊥AB于K交AF于O′，根据菱形的性质得到O′B=OB=5，再根据勾股定理即可得到结论．

解：延长AO交BD于H，连接OB，OD，

∵∠ADC＝∠AOC＝（180°﹣∠OAC﹣∠OCA）＝（180°﹣4∠CAB）＝90°﹣2∠CAB，

∴∠DAB＝90°﹣∠ADC＝2∠CAB＝2∠OAB，

∴∠OAD＝∠OAB，∵OA＝OB＝OD，

∴∠OBA＝∠OAB＝∠OAD＝∠ODA，

∴∠AOB＝∠AOD，

在△OAB与△OAD中 ，

∴△OAB≌△OAD，

∴AB＝AD，

∵∠OAB＝∠OAD，

∴AH垂直平分BD，

∵∠OBA＝∠OAB＝∠BAC，

∴OB∥AF，

∴，

令OH＝4a，则BH＝3a，OB＝5a＝10，∴a＝2，

∴BD＝2BH＝12，

当O′在BD上时，O′H＝O′B﹣BH＝4，

∴OO′＝＝4，

过O作OO′⊥AB于K交AF于O′，

则四边形OAO′B是菱形，

∴O′B＝OB＝5，BK＝AB＝3 ，

∴OK＝ ＝ ，

∴OO′＝2OK＝2．

故答案为：4或2．