Question

10．如图，点D、E是Rt△ABC两直角边AB、AC上的一点，连接BE，已知点F、G、H分别是DE、BE、BC的中点．
（1）求∠FGH度数；
（2）连CD，取CD中点M，连接GM，若BD=8，CE=6，求GM的长．

Answer 1

分析 （1）首先证明FG∥DB，GH∥EC，由平行线的性质可知∠DBE=∠FGE，∠EHG=∠AEG，从而可证明∠FGH=90°；
（2）连接FM、HM．首先证明四边形FGHM为矩形，然后利用勾股定理求解即可．

解答 解：（1）∵F、G、H分别是DE、BE、BC的中点，
∴FG∥DB，GH∥EC．
∴∠DBE=∠FGE，∠EHG=∠AEG．
∠FGH=∠FGE+∠EGH=∠ABE+∠BEA=180°-∠A=180°-90°=90°．
（2）如图所示：连接FM、HM．

∵M、H分别是BC和DC的中点，
∴MN∥BD，MN=$\frac{1}{2}BD$．
同理：GF∥BD，GF=$\frac{1}{2}BD$．
∴四边形FGHM为平行四边形．
∵G、H、M分别是BE、BC、DC的中点，
∴GH=$\frac{1}{2}EC$=3，$HM=\frac{1}{2}BD=4$，
由（1）可知：∠FGH=90°，
∴四边形FGHM为矩形．
∴∠GHM=90°．
∴GM=$\sqrt{G{H}^{2}+H{M}^{2}}=\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5．

点评 本题主要考查的是三角形的中位线定理、平行四边形的判定、矩形的判定、勾股定理、平行线的性质的综合应用，证得四边形FGHM是矩形是解题的关键．