Question

在中Rt△ABC，∠ACB=90°，D是边AB上一点，以BD为直径的⊙O与边AC相切于点E，连结DE并延长，与BC的延长线交于点F。
（1）求证：BD=BF；
（2）若BC=6，AD=4，求⊙O的面积。

Answer 1

证明：（1）连接OE
∵AC切⊙O于E，
∴OE⊥AC，
又∠ACB=90°，即BC⊥AC，
∴OE∥BC，
∴∠OED=∠F，
又OD=OE，
∴∠ODE=∠OED，
∴∠ODE=∠F，
∴BD=BF；
解：（2）设⊙O半径为r，由OE∥BC得△AOE∽△ABC，
∴，
即，
∴r²-r-12=0，
解之得r₁=4，r₂=-3（舍），
∴S_⊙O=πr²=16π。