Question

如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，F是AB边上的中点，点D、E分别在AC、BC边上运动，且保持AD=CE．连接DE、DF、EF．在此运动变化的过程中，下列结论：①△DFE是等腰直角三角形；②DE长度的最小值为4；③四边形CDFE的面积保持不变；④△CDE面积的最大值为8．其中正确的结论是（　　）

A．①②③

B．①③

C．①③④

D．②③④

Answer 1

分析：解答此题的关键是在于判断△DFE是否等腰直角三角形；做常规辅助线，连接CF，由SAS定理可得△CFE≌△ADF，从而可证∠DFE=90°可得DF=EF，可得①△DFE是等腰直角三角形正确；可得DE=

2

DF，当DF⊥AC时，DF最小，DE取最小值4

2

，故②错误；再由补割法可证③是正确的；△CDE最大的面积等于四边形CDEF的面积减去△DEF的最小面积，由③可知④是正确的．故①③④正确．

解答：解：①连接CF．
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴∠FCB=∠A=45°，CF=AF=FB，
∵AD=CE，
∴△ADF≌△CEF，
∴EF=DF，∠CFE=∠AFD，
∵∠AFD+∠CFD=90°
∴∠CFE+∠CFD=∠EFD=90°，
∴△EDF是等腰直角三角形，
故本选项正确；

②∵△DEF是等腰直角三角形，
∴当DE最小时，DF也最小，
即当DF⊥AC时，DE最小，此时DF=

1

2

BC=4，
∴DE=

2

DF=4

2

，
故本选项错误；

③∵△ADF≌△CEF，
∴S_△CEF=S_△ADF，
∴S_{四边形CDFE}=S_△DCF+S_△CEF=S_△DCF+S_△ADF=S_△ACF=

1

2

S_△ABC
故本选项正确；

④当△CED面积最大时，由③知，此时△DEF的面积最小，此时，
S_△CED=S_{四边形CEFD}-S_△DEF=S_△AFC-S_△DEF=16-8=8，
故本选项正确；
综上所述正确的有①③④．
故选C．

点评：此题考查的知识点有等腰直角三角形，全等三角形的判定与性质等知识点，综合性强，难度较大，是一道难题．利用“割补法”是求不规则图形的面积的常用方法．