Question

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，半径为1的⊙A与边AB相交于点D，与边AC相交于点E，连接DE并延长，与线段BC的延长线交于点P．
（1）连接AP，若∠B=30°，且△AEP与△BDP相似，则CE的长为

1

2

；
（2）若CE=2，BD=BC，则tan∠BPD的值为

1

2

．

Answer 1

分析：（1）根据∠B=30°，∠ACB=90°可得∠BAC=60°，从而得到△ADE是等边三角形，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠BPD=30°，然后根据等角对等边的性质可得BD=PD，再根据△AEP与△BDP相似可得PE=AE，然后根据30°角所对的直角边等于斜边的一半即可求解；
（2）设BD=BC=x，表示出AB、AC的长度，然后利用勾股定理列式求出x的值为4，过点C作CF∥DP交AB于点F，再根据平行线分线段成比例定理求出DF=2，然后求出BF的长度，再次利用平行线分线段成比例定理求出CP的长度，然后根据正切值的定义解答．

解答：解：（1）∵∠B=30°，∠ACB=90°，
∴∠BAC=90°-30°=60°，
∴△ADE是等边三角形，
在△BDP中，∠ADE=∠B+∠BPD，
即60°=30°+∠BPD，
解得∠BPD=30°，
∴∠B=∠BPD，
∴BD=PD，
∵△AEP与△BDP相似，
∴AE=PE，
∵⊙A的半径为1，
∴PE=1，
在Rt△PCE中，CE=

1

2

PE=

1

2

；

（2）设BD=BC=x，
∵⊙A的半径为1，CE=2，
∴AB=x+1，AC=2+1=3，
∵∠ACB=90°，
∴AC²+BC²=AB²，
即3²+x²=（x+1）²，
解得x=4，
过点C作CF∥DP交AB于点F，
则

AE

CE

=

AD

DF

，

BF

DF

=

BC

CP

，
即

1

2

=

1

DF

，
解得DF=2，
∴BF=BD-DF=4-2=2，
又由CF∥DP可得

BF

DF

=

BC

CP

，
即

2

2

=

4

CP

，
解得CP=4，
∴tan∠BPD=

CE

CP

=

2

4

=

1

2

．
故答案为：（1）

1

2

，（2）

1

2

．

点评：本题考查了相似三角形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理的应用，平行线分线段成比例定理，等角对等边的性质，利用计算中数据的相等是解题的关键．