Question

1．如图，MN是⊙O的直径，MN=8，∠AMN=20°，点B为弧$\widehat{AN}$的中点，点P是直径MN上的一个动点，则PA+PB的最小值为4．

Answer 1

分析 过A作关于直线MN的对称点A′，连接A′B，由轴对称的性质可知A′B即为PA+PB的最小值，由对称的性质可知$\widehat{AN}$=$\widehat{A′N}$，再由圆周角定理可求出∠A′ON的度数，再由勾股定理即可求解．

解答 解：过A作关于直线MN的对称点A′，连接A′B，由轴对称的性质可知A′B即为PA+PB的最小值，
连接OB，OA′，AA′，
∵AA′关于直线MN对称，
∴$\widehat{AN}$=$\widehat{A′N}$，
∵∠AMN=20°，
∴∠A′ON=40°，∠BON=20°，
∴∠A′OB=60°，
∴△A′OB是等边三角形，
∴A′B=$\frac{1}{2}$MN=4，即PA+PB的最小值4．
故答案为：4．

点评 本题考查的是圆心角、弧、弦的关系及轴对称-最短路线问题，解答此题的关键是根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求解．