Question

若抛物线y=-x²+2ax+b的顶点在直线mx-y-2m+1=0上移动，且与抛物线y=x²有公共点，求m的取值范围．

Answer 1

解：∵y=-x²+2ax+b=-（x-a）²+a²+b，
∴顶点坐标为（a，a²+b），
代入mx-y-2m+1=0中，得ma-（a²+b）-2m+1=0，
即b=ma-a²-2m+1，
联立，
解得-2x²+2ax+b=0，
∵两抛物线有公共点，
∴△=（2a）²-4×（-2）×b≥0，
即a²+2b≥0，
a²+2（ma-a²-2m+1）≥0，
整理，得2（a-2）m≥a²-2，
当a=2时，无解，
当a＞2时，
m≥=[a-2++4]≥+2，当a=2+时取等号；
当a＜2时，
m≤=[a-2++4]≤-+2，当a=2-时取等号．
分析：用配方法将抛物线y=-x²+2ax+b写成顶点式，求出顶点坐标，代入直线mx-y-2m+1=0中，再联立两条抛物线的解析式，当两抛物线有交点时，△≥0，解不等式即可．
点评：本题考查了抛物线的顶点坐标的求法，两抛物线的交点坐标的求法，以及解不等式的相关知识，分类讨论问题．