Question

3．已知二次函数y=ax²+bx+c的图象经过点（-2，4），（-1，0），（0，-2）
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）求此二次函数的顶点坐标及与坐标轴的交点坐标，并根据这些点画出函数大致图象；
（3）若0＜y＜3，求x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题意抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）经过（-2，4），（-1，0），（0，-2）三点，把三点代入函数的解析式，根据待定系数法求出函数的解析式；
（2）把求得的解析式化为顶点式，从而求出其对称轴和顶点坐标；分别令x=0，y=0，得到方程，解方程从而求出抛物线与坐标轴的交点坐标；
（3）把y=3代入解析式求得横坐标，从而求出x的取值范围．

解答 解：（1）∵抛物线经过（-2，4），（-1，0），（0，-2）三点，则$\left\{\begin{array}{l}{4a-2b+c=4}\\{a-b+c=0}\\{c=-2}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-1}\\{c=-2}\end{array}\right.$
∴y=x²-x-2；

（2）∵y=x²-x-2=（x-$\frac{1}{2}$）²-$\frac{9}{4}$
∴对称轴为直线x=$\frac{1}{2}$，顶点坐标为（$\frac{1}{2}$，-$\frac{9}{4}$）；
∵x=0，y=-2，
∴抛物线与y轴的交点坐标为（0，-2）
∵y=0，
∴x²-x-2=0，
∴x₁=2，x₂=-1，
∴抛物线与x轴的交点坐标为（2，0）、（-1，0）．
画出函数图象如图：

（3）把y=3代入得，x²-x-2=3，解得x=$\frac{1±\sqrt{21}}{2}$
∴$\frac{1-\sqrt{21}}{2}$＜x＜-1 或 2＜x＜$\frac{1+\sqrt{21}}{2}$．

点评 本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，待定系数法求函数解析式是常用的方法，需熟练掌握并灵活运用，（2）整理成顶点式形式求解更简便．