Question

如图，在平面直角坐标中，矩形OABC，OA=4，AB=2，直线y=-x+

3

2

与坐标轴交于D，E两点，设M是AB的中点，P是线段DE上的动点．过P作PH⊥BC，垂足为H，当以PM为直径的⊙F与BC相切于点N时，梯形PMBH的面积是

-

37

2

+

19

4

22

．

Answer 1

分析：可设P（x，y），连接PN、MN、NF，因为点P在y=-x+

3

2

上，所以P（x，-x+

3

2

），根据题意可得PN⊥MN，FN⊥BC，F是圆心，又因N是线段HB的中点，HN=NB=

4-x

2

，PH=2-（-x+

3

2

）=x+

1

2

，BM=1，利用直径对的圆周角是直角可得到∠HPN+∠HNP=∠HNP+∠BNM=90°，所以∠HPN=∠BNM，又因∠PHN=∠B=90°，所以可得到Rt△PNH∽Rt△NMB，所以

HM

BM

=

PH

BN

，∴

4-x 2

1

=

x+ 1 2

4-x 2

，这样就可得到关于x的方程，解之即可求出x的值，而所求面积的四边形是一个直角梯形，所以S_PMBH=

(BM+HP)•BP

2

=

(1+6- 22 + 1 2 )(4-6+ 22 )

2

=-

37

2

+

19

4

22

．

解答：解：设P（x，y），连接PN、MN、NF，
∵点P在y=-x+

3

2

上，
∴P（x，-x+

3

2

），
依题意知：PN⊥MN，FN⊥BC，F是圆心，
∴N是线段HB的中点，HN=NB=

4-x

2

，PH=2-（-x+

3

2

）=x+

1

2

，BM=1，
∵∠HPN+∠HNP=∠HNP+∠BNM=90°，
∴∠HPN=∠BNM，
又∵∠PHN=∠B=90°，
∴Rt△PNH∽Rt△NMB，
∴

HN

BM

=

PH

BN

，
∴

4-x 2

1

=

x+ 1 2

4-x 2

，
∴x²-12x+14=0，
解得：x=6+

22

（x＞

3

2

舍去），x=6-

22

，
S_PMBH=

(BM+HP)•BH

2

=

(1+6- 22 + 1 2 )(4-6+ 22 )

2

=-

37

2

+

19

4

22

．
故答案为：-

37

2

+

19

4

22

．

点评：考查了一次函数综合题，本题属于一道典型的数形结合的题目，需利用一次函数的解析式结合圆的相关知识才可以解决问题．